最后终于可以谈谈欧拉公式了,这也是很多个星期之前,我们空间有人问到的话题。当时的回答其实并不准确
根据之前推文的讨论我们知道,e并没有什么特别之处,他仅仅是为了简化2^x计算而引入的。最终结果是:
e = 2^(1/0.693),以使得
e^x = (1 + x/N)^N, N->infinity
那么一个自然的问题就来了,如果x是复数,特别是虚数时,比如当x = ib,e^x 是否还有意义?
为什么会要计算形如e^ib的形式?这其实是另外一个问题,是伯努利在计算圆弧下面积时不小心发现的,这点有机会以后再说。同时,因为e^ib 和他的共轭 e^-ib的乘积是e^0=1,这也就是在说e^ib的长度是1,它必须落在复平面的单位圆上。
回到 e^ib。如果公式e^x = (1 + x/N)^N 对任意数有效,那么他应该对虚数也有效,你也可以认为数学家们将这一近似公式拓展到了复平面。
代入 x = ib 可知:
e^ib = (1 + ib/N)^N
在复平面上,i垂直于实数轴,因此ib垂直于1的方向。当N很大时,b/N很小,而tan(b/N)就约等于b/N,这意味着b/N其实就是1 + ib/N 在复平面上对应的旋转角,也就是幅角,当N特别大时。
与此同时,对于一个复数而言,一个数的N次方就是他的幅角连加N次,幅长取N次方,但因为e^ib的幅长必须是1,因此:
(1 + ib/N)^N 就等于 一个复平面单位圆上,幅角为b/N * N = b 的复数
也就是说,e^ib = (1 + ib/N)^N = cos(b) + isin(b)
这也就是欧拉公式的真实来历
并没有什么很奇特的,相反我认为,那个物理学家发现e^ib的故事,更值得一谈